NS 方程索引

流体流动类型众多,可以按照流体粘性种类划分,也可以按照流体压缩性划分。本文参考了 COMSOL 帮助文档,列出主要常用的各种流体流动方程,以作参考。

标准 NS 方程

NS 方程用于描述速度场 u 和压力场 p 的关系,可以写作 ρ(ut+(u)u)惯性力=p压力+K粘性力+F体积力,ρt+(ρu)=0. 其中 ρ 是流体密度,粘性力项中张量 K 与动力粘度 μ 和速度 u 相关 K=μ(u+(u)T)23μ((u)I). 其中 I 是单位矩阵,u+(u)T=D 也被称为变形率张量。如果流体不可压,则有 dρ/dt=0,代入方程 (???)u=0。假设流体粘度恒定,此时粘性力项可简化为 K=[μ(u+(u)T)23μ((u)I)]=[μ(u+(u)T)]=μu=μ2u. 则不可压、粘性、层流 NS 方程可写作 ρ(ut+(u)u)=p+μ2u+F,u=0. 流体的可压缩性可以通过无量纲数——马赫数 Ma=U/c 来判定,其中 U 是流体特征速度, c 是流体声速。按马赫数大小可分为

  • 不可压流动(Ma=0
  • 弱可压缩流动(Ma<0.3
  • 亚声速流动(Ma=0.30.8 左右)
  • 跨声速流动(Ma=0.81.2 左右)
  • 超声速流动(Ma=1.25.0 左右)
  • 高超声速流动(Ma>5.0

不可压流动可通过方程 (???) 求解,弱可压缩流动可通过方程 (???)(???) 求解。当 Ma>0.3 需要考虑湍流效应和热效应,需要额外方程来描述流体流动特征。

对于不可压流动,描述湍流效应还有一重要的无量纲数——雷诺数 Re=ρULμ=惯性力粘性力, 其中 L 是流动结构特征长度。尽管不同的流动结构产生湍流效应的临界雷诺数不同,一般可认为当 Re>2000 时产生湍流效应,当 Re<2000 流体流动可通过方程 (???) 求解。如果惯性力相对于粘性力可以忽略(一般 Re<<1),流体流动及其缓慢,该种流动也被称为为蠕动流。在求解时,方程 (???) 中惯性项中对流项 (u)u 可以忽略 ρut=p+μ2u+F,u=0.

湍流

热效应

两相流

在工程上,有时需要追踪流体的界面,此时,表面张力在界面变形中起到重要作用。如最常见的水龙头接水时,液柱界面形状变化。考虑最普通的气液两相不可压流动,如下图所示

若空间内气液界面 s=s(ξ;t) 用两个参数 ξ=(ξ1,ξ2) 的参数方程表示,则界面的运动方程满足 (s(ξ;t)tu(ξ;t))n=0, 其中 u(ξ;t) 表示位置 ξ=(ξ1,ξ2) 的速度,该方程通常也简写为动力学边界条件 n(uuS)=0uS 是气液界面运动速度。如果用等值面 S(s(ξ;t);t)=S0 来表示气液界面,上式可写作 St+uS=0. 在气相和液相 Ω1Ω2 中,流体流动均满足方程 (???) 。在气液界面 S 上,两侧的应力差驱动界面流动,满足界面应力平衡方程 n[Ti]21=γκn, 其中 [xi]21=x1x2 表示物理量跨越界面时的差值,Ti=piI+μiDi 称为水动力应力张量(hydrodynamic stress tensor),κ=n 是界面平均曲率。如果气液两相可当作无粘流体或者均处于静止状态,则两侧压力差为 Δp=p1p2=γκ, 该压力差也被称为拉普拉斯压力。注意NS 方程是体方程,而方程 (???)表面方程。追踪界面方法有流体体积(Volume of fluid, VOF)法、水平集(Level set,LS)法和任意拉格朗日(Arbitrary Lagrangian Eulerian,ALE)法等。其中 VOF 和 LS 法将界面处理成一定厚度的过渡层。

VOF 方法

VOF 法引入相体积分数 c 来实现对计算域内界面进行追踪,同时将双流体方程(气液相各一个)转化为单流体方程。流体体积分数一般设置为 {c=0气相0<c<1界面c=1液相.

通过求出整个计算域内各网格单元的相分数,从而可以构建出界面

在 VOF 法中,所有物理量经过界面都是渐变的,如转化为单流体方程中密度和粘度可表示为 ρ(c)=(1c)ρ1+cρ2, μ(c)=(1c)μ1+cμ2. 此时求解的单流体动量方程为 ρ(c)(ut+(u)u)=T+FS, 此处我们用 T=pI+μ(c)D 代替了 (???) 中的压力项和粘性项,FS 为表面张力导出的体积力。单流体仍然当作是不可压流体,有 dρdt=0d((1c)ρ1+cρ2)dt=(ρ2ρ1)dcdt=0,ct+uc=0. 该方程是不可压缩 VOF 模型中的相方程,也是最常见的对流方程,也与方程 (???) 一致。VOF 模型中,界面法向向量和曲率可以写为 n=c|c|, κ=(c|c|). 为了将表面方程 (???) 考虑到 VOF 方法中,需要用到连续力(Continuum surface force,CSF)模型,该模型将间断的压力处理成连续过渡的体积力,即(不考虑马兰戈尼效应) n(T1T2)=γκnT=(γκ)=γκc, 结合方程 (???) 不可压缩 VOF 模型中动量方程 ρ(c)(ut+(u)u)=p+(μ(c)D)γ(c|c|)c.

Level-set 方法

ALE 方法