流体流动类型众多,可以按照流体粘性种类划分,也可以按照流体压缩性划分。本文参考了
COMSOL 帮助文档,列出主要常用的各种流体流动方程,以作参考。

标准 NS 方程
NS 方程用于描述速度场 和压力场 的关系,可以写作 其中
是流体密度,粘性力项中张量 与动力粘度 和速度 相关 其中
是单位矩阵,
也被称为变形率张量。如果流体不可压,则有 ,代入方程 得 。假设流体粘度恒定,此时粘性力项可简化为
则不可压、粘性、层流 NS 方程可写作 流体的可压缩性可以通过无量纲数——马赫数 来判定,其中
是流体特征速度,
是流体声速。按马赫数大小可分为
- 不可压流动()
- 弱可压缩流动()
- 亚声速流动(
左右)
- 跨声速流动(
左右)
- 超声速流动(
左右)
- 高超声速流动()
不可压流动可通过方程
求解,弱可压缩流动可通过方程 和 求解。当
需要考虑湍流效应和热效应,需要额外方程来描述流体流动特征。
对于不可压流动,描述湍流效应还有一重要的无量纲数——雷诺数 其中
是流动结构特征长度。尽管不同的流动结构产生湍流效应的临界雷诺数不同,一般可认为当
时产生湍流效应,当 流体流动可通过方程
求解。如果惯性力相对于粘性力可以忽略(一般 ),流体流动及其缓慢,该种流动也被称为为蠕动流。在求解时,方程
中惯性项中对流项
可以忽略
湍流
热效应
两相流
在工程上,有时需要追踪流体的界面,此时,表面张力在界面变形中起到重要作用。如最常见的水龙头接水时,液柱界面形状变化。考虑最普通的气液两相不可压流动,如下图所示

若空间内气液界面
用两个参数
的参数方程表示,则界面的运动方程满足 其中
表示位置
的速度,该方程通常也简写为动力学边界条件 ,
是气液界面运动速度。如果用等值面 来表示气液界面,上式可写作 在气相和液相
中,流体流动均满足方程 。在气液界面
上,两侧的应力差驱动界面流动,满足界面应力平衡方程 其中
表示物理量跨越界面时的差值,
称为水动力应力张量(hydrodynamic stress tensor),
是界面平均曲率。如果气液两相可当作无粘流体或者均处于静止状态,则两侧压力差为
该压力差也被称为拉普拉斯压力。注意NS
方程是体方程,而方程
是表面方程。追踪界面方法有流体体积(Volume of fluid,
VOF)法、水平集(Level set,LS)法和任意拉格朗日(Arbitrary Lagrangian
Eulerian,ALE)法等。其中 VOF 和 LS 法将界面处理成一定厚度的过渡层。
VOF 方法
VOF 法引入相体积分数
来实现对计算域内界面进行追踪,同时将双流体方程(气液相各一个)转化为单流体方程。流体体积分数一般设置为
通过求出整个计算域内各网格单元的相分数,从而可以构建出界面

在 VOF
法中,所有物理量经过界面都是渐变的,如转化为单流体方程中密度和粘度可表示为
此时求解的单流体动量方程为 此处我们用 代替了 中的压力项和粘性项,
为表面张力导出的体积力。单流体仍然当作是不可压流体,有 即 该方程是不可压缩 VOF
模型中的相方程,也是最常见的对流方程,也与方程 一致。VOF
模型中,界面法向向量和曲率可以写为 为了将表面方程 考虑到 VOF
方法中,需要用到连续力(Continuum surface
force,CSF)模型,该模型将间断的压力处理成连续过渡的体积力,即(不考虑马兰戈尼效应)
结合方程
不可压缩 VOF 模型中动量方程
Level-set 方法
ALE 方法