NS 方程的无量纲化
许多物理问题，比如风刮过山脉、船在海上行驶等，本文主要无量纲化动量方程
单相 NS 方程
标准方程
单相粘性不可压 NS 方程可表示为 \[ \begin{equation}\label{eq1} \rho \left( \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + (\boldsymbol{u}\cdot\nabla) \boldsymbol{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2\boldsymbol{u} + \boldsymbol{F}, \end{equation} \]
其中 \(\boldsymbol{F}\) 为体积力，单位 N/m3 如果使用体积加速度 \(\boldsymbol{f}\) 来表示体积力，则上式写作 \[ \begin{equation}\label{eq2} \rho \left( \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + (\boldsymbol{u}\cdot\nabla) \boldsymbol{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2\boldsymbol{u} + \rho\boldsymbol{f}. \end{equation} \]
无量纲化
考虑以下特征量
| 特征值 | 符号 | 单位 | 无量纲值 | 实际值 |
|---|---|---|---|---|
| 密度 | \(\rho_0\) | kg/m3 | \(\rho^*\) | \(\rho=\rho_0\rho^*\) |
| 粘度 | \(\mu_0\) | Pa·s | \(\mu^*\) | \(\mu=\mu_0\mu^*\) |
| 长度 | \(L\) | m | \(x^*\) | \(x=Lx^*\) |
| 时间 | \(T\) | s | \(t^*\) | \(t=Tt^*\) |
| 速度 | \(U\) | m/s | \(\boldsymbol{u}^*\) | \(\boldsymbol{u}=U\boldsymbol{u}^*\) |
| 压强 | \(P\) | Pa | \(p^*\) | \(p=Pp^*\) |
| 体积力 | \(F_0\) | N/m3 | \(\boldsymbol{F}^*\) | \(\boldsymbol{F}=F_0\boldsymbol{F}^*\) |
| 加速度 | \(g\) | m/s2 | \(\boldsymbol{f}^*\) | \(\boldsymbol{f}=g\boldsymbol{f}^*\) |
则方程 \(\eqref{eq2}\) 可转换为 \[ \rho_0\rho^* \left( \frac{\partial (U\boldsymbol{u}^*)}{\partial (Tt^*)} + \left( ( U\boldsymbol{u}^*)\cdot\left( \frac{\nabla^*}{L} \right) \right) (U\boldsymbol{u}^*) \right) = -\left( \frac{\nabla^*}{L} \right)(Pp^*) + (\mu_0\mu^*) \left( \frac{\nabla^{*2}}{L^2} \right)(U^2\boldsymbol{u}^{*2}) + (\rho_0\rho^* g\boldsymbol{f}^*), \] 稍作变换，有 \[ \left(\frac{L}{TU}\right)\frac{\partial\boldsymbol{u}^*}{\partial t^*} + (\nabla^*\cdot\boldsymbol{u})\boldsymbol{u}=\frac{1}{\rho^*} \left( -\left(\frac{P}{\rho_0 U^2} \right)\nabla^*p^* + \mu^*\left(\frac{\mu_0}{\rho_0 UL} \right)\nabla^{*2}\boldsymbol{u}^* \right) + \left( \frac{Lg}{U^2}\right)\boldsymbol{f}^*. \] 引入无量纲数
| 无量纲数 | 符号 | 表达式 | 含义 |
|---|---|---|---|
| 斯特劳哈尔数 | \(St\) | \(L/(TU)\) | |
| 欧拉数 | \(Eu\) | \(P/(\rho_0 U^2)\) | |
| 雷诺数 | \(Re\) | \(\rho_0 UL/\mu_0\) | 惯性力/粘性力 |
| 弗劳德数 | \(Fr\) | \(U^2/(gL)\) | 惯性力/重力 |
则上式简化为 \[ St\frac{\partial\boldsymbol{u}^*}{\partial t^*} + (\nabla^*\cdot\boldsymbol{u})\boldsymbol{u}=\frac{1}{\rho^*} \left( -Eu \nabla^*p^* + \mu^*\frac{1}{Re}\nabla^{*2}\boldsymbol{u}^* \right) + \frac{1}{Fr} \boldsymbol{f}^*. \] 一般取特征值时，会令 \(St=1\)，\(Eu=1\)，\(\rho^*=1\)，\(\mu^*=1\)，上式进一步简化为 \[ \boxed{ \frac{\partial\boldsymbol{u}^*}{\partial t^*} + (\nabla^*\cdot\boldsymbol{u})\boldsymbol{u} = \nabla^*p^* + \mu^*\frac{1}{Re}\nabla^{*2}\boldsymbol{u}^* + \frac{1}{Fr} \boldsymbol{f}^*.} \]
两相 NS 方程（体积分数描述）
标准方程
设 \(c\) 为某一相体积分数，则有动量方程 \[ \rho(c) \left( \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + (\boldsymbol{u}\cdot\nabla) \boldsymbol{u} \right) = -\nabla p + \mu(c)\nabla^2\boldsymbol{u} + \gamma \kappa \nabla c. \]