NS 方程的无量纲化

许多物理问题,比如风刮过山脉、船在海上行驶等,本文主要无量纲化动量方程

单相 NS 方程

标准方程

单相粘性不可压 NS 方程可表示为 \[ \begin{equation}\label{eq1} \rho \left( \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + (\boldsymbol{u}\cdot\nabla) \boldsymbol{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2\boldsymbol{u} + \boldsymbol{F}, \end{equation} \]

其中 \(\boldsymbol{F}\) 为体积力,单位 N/m3 如果使用体积加速度 \(\boldsymbol{f}\) 来表示体积力,则上式写作 \[ \begin{equation}\label{eq2} \rho \left( \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + (\boldsymbol{u}\cdot\nabla) \boldsymbol{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2\boldsymbol{u} + \rho\boldsymbol{f}. \end{equation} \]

无量纲化

考虑以下特征量

特征值 符号 单位 无量纲值 实际值
密度 \(\rho_0\) kg/m3 \(\rho^*\) \(\rho=\rho_0\rho^*\)
粘度 \(\mu_0\) Pa·s \(\mu^*\) \(\mu=\mu_0\mu^*\)
长度 \(L\) m \(x^*\) \(x=Lx^*\)
时间 \(T\) s \(t^*\) \(t=Tt^*\)
速度 \(U\) m/s \(\boldsymbol{u}^*\) \(\boldsymbol{u}=U\boldsymbol{u}^*\)
压强 \(P\) Pa \(p^*\) \(p=Pp^*\)
体积力 \(F_0\) N/m3 \(\boldsymbol{F}^*\) \(\boldsymbol{F}=F_0\boldsymbol{F}^*\)
加速度 \(g\) m/s2 \(\boldsymbol{f}^*\) \(\boldsymbol{f}=g\boldsymbol{f}^*\)

则方程 \(\eqref{eq2}\) 可转换为 \[ \rho_0\rho^* \left( \frac{\partial (U\boldsymbol{u}^*)}{\partial (Tt^*)} + \left( ( U\boldsymbol{u}^*)\cdot\left( \frac{\nabla^*}{L} \right) \right) (U\boldsymbol{u}^*) \right) = -\left( \frac{\nabla^*}{L} \right)(Pp^*) + (\mu_0\mu^*) \left( \frac{\nabla^{*2}}{L^2} \right)(U^2\boldsymbol{u}^{*2}) + (\rho_0\rho^* g\boldsymbol{f}^*), \] 稍作变换,有 \[ \left(\frac{L}{TU}\right)\frac{\partial\boldsymbol{u}^*}{\partial t^*} + (\nabla^*\cdot\boldsymbol{u})\boldsymbol{u}=\frac{1}{\rho^*} \left( -\left(\frac{P}{\rho_0 U^2} \right)\nabla^*p^* + \mu^*\left(\frac{\mu_0}{\rho_0 UL} \right)\nabla^{*2}\boldsymbol{u}^* \right) + \left( \frac{Lg}{U^2}\right)\boldsymbol{f}^*. \] 引入无量纲数

无量纲数 符号 表达式 含义
斯特劳哈尔数 \(St\) \(L/(TU)\)
欧拉数 \(Eu\) \(P/(\rho_0 U^2)\)
雷诺数 \(Re\) \(\rho_0 UL/\mu_0\) 惯性力/粘性力
弗劳德数 \(Fr\) \(U^2/(gL)\) 惯性力/重力

则上式简化为 \[ St\frac{\partial\boldsymbol{u}^*}{\partial t^*} + (\nabla^*\cdot\boldsymbol{u})\boldsymbol{u}=\frac{1}{\rho^*} \left( -Eu \nabla^*p^* + \mu^*\frac{1}{Re}\nabla^{*2}\boldsymbol{u}^* \right) + \frac{1}{Fr} \boldsymbol{f}^*. \] 一般取特征值时,会令 \(St=1\)\(Eu=1\)\(\rho^*=1\)\(\mu^*=1\),上式进一步简化为 \[ \boxed{ \frac{\partial\boldsymbol{u}^*}{\partial t^*} + (\nabla^*\cdot\boldsymbol{u})\boldsymbol{u} = \nabla^*p^* + \mu^*\frac{1}{Re}\nabla^{*2}\boldsymbol{u}^* + \frac{1}{Fr} \boldsymbol{f}^*.} \]

两相 NS 方程(体积分数描述)

标准方程

\(c\) 为某一相体积分数,则有动量方程 \[ \rho(c) \left( \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + (\boldsymbol{u}\cdot\nabla) \boldsymbol{u} \right) = -\nabla p + \mu(c)\nabla^2\boldsymbol{u} + \gamma \kappa \nabla c. \]